Question

求曲线积分∫（x^2+y)dx-(x+sin^2y)dy,其中L是圆周y=根号下...

求曲线积分∫（x^2+y)dx-(x+sin^2y)dy,其中L是圆周y=根号下2x-x^2上由点（0,0）到（2,0）上一段

Answer 1

自行画图
补线段L1：y=0,x从2到0,这样L+L1构成封闭曲线,可以使用格林公式,注意本封闭曲线为顺时针旋转,与格林公式中的逆时针不符,所以用格林公式时要多加一个负号.
∮(x^2+y)dx-(x+sin^2y)dy
=∫∫(1+1)dxdy
=2∫∫1dxdy
被积函数为1,积分结果为区域面积,该区域是一个半圆,面积为：(1/2)πr²=π/2
=π
(1)
下面将补的那条线段上的积分减出去.
∫(x^2+y)dx-(x+sin^2y)dy
积分曲线为L1：y=0,x从2到0
=∫[2--->0]
x²dx
=(1/3)x³
[2--->0]
=-8/3
(2)
因此本题最终结果为：(1)-(2)
π+8/3