Question

急求！！求这道函数的极限问题详细解答

Answer 1

设f(x)>0，且x→alimf(x)=A；试证 x→alim√f(x)=√A;
证明：∵x→alimf(x)=A, ∴无论预先给定的正数ξ怎么小, 总存在一个正数δ，使得 ∣x-a∣<δ时
恒有∣f(x)-A∣<ξ；下面分两种情况进行证明。
①。当A≧1/2时必有√A>1/2，√f(a)+√A=2√A>1，此时可以推得：
∣√f(x)-√A∣≦∣(√f(x)-√A)(√f(x)+√A)∣≦∣(√f(x)-√A)(√f(a)+√A)∣=2(√A)∣f(x)-A∣<ξ；
此时存在δ=ξ/(2√A);
②。当0<A<1/2时必有 f(a)+A=2A<1：此时可以推得：
∣√f(x)-√A∣=∣(√f(x)-√A)(√f(x)+√A)/(√f(x)+√A)∣=∣f(x)-A∣/(√f(x)+√A)
<∣f(x)-A∣/[√f(a)+√A]=∣f(x)-A∣/(2√A)<ξ；
此时存在δ=2(√A)ξ;
即在A>0的条件下，都存在正数δ, 使得 ∣x-a∣<δ时恒有∣√f(x)-√A∣<ξ成立，故证。
∴x→alim√f(x)=√A。

Answer 2