Question

已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)= f(2)=3。（1）求f(x)的解析式；（2）若f(x)在区间[2a，a+1]上

已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)= f(2)=3。
（1）求f(x)的解析式；
（2）若f(x)在区间[2a，a+1]上单调，求实数a的取值范围；
注意是单调,谢谢解答

Answer 1

∵f(x)为二次函数
f(0)=f(2)=3
∴对称轴为x=(0+2)/2=1
∵二次函数f(x)的最小值为1
∴设f(x)=a(x-1)²+1,a＞0
∵f(0)=3
∴a+1=3,a=2
∴f(x)=2(x-1)²+1
=2x²－4x+3
(2) f(x)在区间[2a，a+1]上单调，则由二次函数图象性质，对称轴在所给区间外，
∴ 2a>1或 a+1<1
∴a<0或a>1/2

追问

注意是单调,谢谢解答

追答

是的， f(x)在区间[2a，a+1]上单调，则由二次函数图象性质，对称轴在所给区间外，
∴ 2a>=1或 a+1=1/2

追问

a小于0没有疑问,第二个我写的是1＞a≥0.5 若a大于等于1,那区间不就无意义

追答

对！
要考虑隐含条件2a=1或 a+1<=1
注意到a<1
实数a的取值范围是a<=0或1/2<=a<1