Question

设向量组a1=(1,1,1,3)^T,a2=(-1,-3,5,1)^T,a3=(3,2,-1,p+2)^T,a4=(-2,-6,10,p)^T

(1)p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量a=（4，1，6，10）^T用a1，a2，a3，a4线性表达出
（2）p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组

Answer 1

解：

 (a1,a2,a3,a4,a) =

1 -1 3 -2 4

1 -3 2 -6 1

1 5 -1 10 6

3 1 p+2 p 10

当p=2时, r(a1,a2,a3,a4)=3, a1,a2,a3,a4线性相关, a1,a2,a3 是一个极大无关组。

当p≠2时, a1,a2,a3,a4线性无关。

此时, (a1,a2,a3,a4,a) -->...

r4*[1/(p-2)], r2-2r4

1 0 0 0 2

0 1 0 0 (3p-4)/(p-2)

0 0 1 0 1

0 0 0 1 -(p-1)/(p-2)

a=2a1+[(3p-4)/(p-2)]a2+a3-[(p-1)/(p-2)]a4。

几何向量

在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。

 因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

Answer 2

解: (a1,a2,a3,a4,a) =
1 -1 3 -2 4
1 -3 2 -6 1
1 5 -1 10 6
3 1 p+2 p 10

r3-r1-r2-r3, r3-r2,r2-r1
1 -1 3 -2 4
0 -2 -1 -4 -3
0 8 -3 16 5
0 0 p-2 p-2 -1

r3+4r2
1 -1 3 -2 4
0 -2 -1 -4 -3
0 0 -7 0 -7
0 0 p-2 p-2 -1

r3*(-1/7),r1-3r3,r2+r3,r4-(p-1)r3
1 -1 0 -2 1
0 -2 0 -4 -2
0 0 1 0 1
0 0 0 p-2 -p+1

r2*(-1/2),r1+r2
1 0 0 0 2
0 1 0 2 1
0 0 1 0 1
0 0 0 p-2 -p+1

当p=2时, r(a1,a2,a3,a4)=3, a1,a2,a3,a4线性相关, a1,a2,a3 是一个极大无关组.

当p≠2时, a1,a2,a3,a4线性无关.
此时, (a1,a2,a3,a4,a) -->...
r4*[1/(p-2)], r2-2r4
1 0 0 0 2
0 1 0 0 (3p-4)/(p-2)
0 0 1 0 1
0 0 0 1 -(p-1)/(p-2)
a=2a1+[(3p-4)/(p-2)]a2+a3-[(p-1)/(p-2)]a4.

Answer 3

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