Question

在△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,AC=AD,DE⊥CD交BC于E点,O为CE的中点

（1）求证OA‖DE( 2）若AC=6，BC=10，求BE的长

Answer 1

连接OD，因为OC=OE，角CDE=90°，所以OD=OC=OE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。因此可证三角形CAO与DAO全等，则角CAO等于角DAO。又AC=AD，AP（设P为OA与CD交点）为公共边，所以三角形APC与APD全等，PC=PD,由此可知OP为三角形CDE的中位线，平行得到证明。
第二问：根据勾股定理可求AB的长度，因此可以求得BD的长度为2倍的根号34减去6。由第一证可得三角形DBE与ABO相似，得到算式（2√34-6）/6=x/OE，又2OE+x=10，解方程组可得x的值。

Answer 2

证明：
连接OD，设AO和CD交于M
∵CD⊥FD，OE=OC
∴OD是直角三角形CED的中线
∴OD=OE=OC
∵AD=AC,OD=OC,AO=AO
∴△AOD≌△AOC
∴∠BAO=∠CAO,
∴△AMD≌△AMC
∴AM⊥CD
∴OA∥DE

根据勾股定理，AB^2=AC^2+BC^2,易得BC=8
∵AO是∠BAC的平行线
∴AB/AC=BO/CO
10/6=(8-OC)/OC
∴OC=3
∴BE=BC-2OC=8-6=2