Question

将f(x)=x(0≤x≤π)分别展开成正弦级数和余弦级数，要详细步骤

求大神!!!!

Answer 1

先看展成正弦级数，先把f（x）延拓到区间（1，2］，使得f（x）=2-x，x∈（1，2］

再把f（x）奇性延拓到区间［-2，0）上，使得f（x）=-f（-x），x∈［-2，0）

再把f（x）以周期为4延拓到整个实轴上去，令x=2t/π，记g（t）=f（x）=f（2t/π）

则g（t）是周期为2π的奇函数，所以an=0

bn=（∫（-π，π）g（t）sin（nt）dt）/π=（2/π）（∫（0，π）g（t）sin（nt）dt

最后再把f（x）以周期为2延拓到整个实轴上去，令x=t/π，记g（t）=f（x）=f（t/π）

则g（t）是周期为2π的偶函数，所以bn=0

an=（∫（-π，π）g（t）cos（nt）dt）/π=（2/π）（∫（0，π）g（t）cos（nt）dt

=1/2-4∑（cos（2n-1）πx）/［（2n-1）π］²，x∈［0，1］

正弦=股长/弦长：

勾股弦放到圆里。弦是圆周上两点连线。最大的弦是直径。 把直角三角形的弦放在直径上，股就是∠A所对的弦，即正弦，勾就是余下的弦——余弦。

按现代说法，正弦是直角三角形的对边与斜边之比。

现代正弦公式是：

sin = 直角三角形的对边比斜边。

斜边为r，对边为y，邻边为a。斜边r与邻边a夹角Ar的正弦sinA=y/r。

Answer 2

先看展成正弦级数，先把f(x)延拓到区间(1,2],使得f(x)=2-x,x∈(1,2]
再把f(x)奇性延拓到区间[-2,0)上，使得f(x)=-f(-x),x∈[-2,0)
最后再把f(x)以周期为4延拓到整个实轴上去，令x=2t/π，记g(t)=f(x)=f(2t/π)
则g(t)是周期为2π的奇函数，所以an=0
bn=(∫(-π,π)g(t)sin(nt)dt)/π=(2/π)(∫(0,π)g(t)sin(nt)dt
=[8sin(nπ/2)]/(nπ)²，n=1,2,3....
即g(t)=∑bn(sin(nt))=>f(x)=g(t)=∑bn(sin(nt))=∑bn(sin(nπx/2))，x∈[0,1]

再看展成余弦级数，先把f(x)偶性延拓到区间[-1,0)上，使得f(x)=f(-x),x∈[-1,0)
最后再把f(x)以周期为2延拓到整个实轴上去，令x=t/π，记g(t)=f(x)=f(t/π)
则g(t)是周期为2π的偶函数，所以bn=0
an=(∫(-π，π)g(t)cos(nt)dt)/π=(2/π)(∫(0,π)g(t)cos(nt)dt
=2[(-1)^n-1]/(nπ)²，n=1,2,3.... 而a0=(2/π)(∫(0,π)g(t)cos(nt)dt=1
即g(t)=a0/2+∑an(cos(nt))=>f(x)=g(t)=1/2+∑an(cos(nt))=1/2+∑an(cos(nπx))
=1/2-4∑(cos(2n-1)πx)/[(2n-1)π]²，x∈[0,1]

以上∑都是n从1到∞求和
以上回答你满意么？

追问

你确定这是正确的吗？
》》因为我不会，所以不知道是不是正确的。