Question

已知函数f(x)=4x^2-7／2-x,x∈[0,1]

(1)求f(x)的单调区间及值域
(2)设a≥1函数g(x)=x^3-3a^2x-2a,x∈[0,1]若对任意x∈[0,1]总存在,使g(x)=f(x)成立,求a的取值范围

Answer 1

(1)
f'(x)=[8x(2-x)+(4x^2-7)]/(2-x)^2=(-4x^2+16x-7)/(2-x)^2
=-(2x-7)(2x-1)/(2-x)^2

x∈[0,1]
当1/2<x<=1,f'(x)>0,f(x)增
当0<=x<1/2,f'(x)<0,f(x)减
当x=1/2,f'(x)=0,f(x)极小=f(1/2)=(4*1/4-7)/(2-1/2)=-4
f(0)=-7/2,f(1)=-3

∴单调区间:[0,1/2)减,(1/2,1]增
值域:[-4,-3]

(2)
[实际上就是要求g(x)的值域包含f(x)的值域]
g'(x)=3x^2-3a^2=3(x+a)(x-a)
a>=1
当x>a,g'(x)>0,g(x)增
当-a<x<a,g'(x)<0,g(x)减
当x<-a,g'(x)>0,g(x)增
当x=-a,g'(x)=0,g(x)极大
当x=a,g'(x)=0,g(x)极小

x∈[0,1],a>=1
g(x)单调递减
g(0)=-2a>=-3,a<=3/2
g(1)=1-3a^2-2a<=-4,a>=1或a<=-5/3

∴1<=a<=3/2

Answer 2

(1)f(x)=4x^2-（7／2）-x
f'(x)=8x-1
当f'(x)=8x-1>0时，即x>1/8时为增函数,x∈[1/8,1]时f(x)单调递增
当f'(x)=8x-1<0时，即x<1/8时为增函数,x∈[0,1/8]时f(x)单调递减
故f(1/8)=-57/16为函数的最小值，最大值经过比较为f(1)=- 1/2
(2)设a≥1函数g(x)=x^3-3a^2x-2a,x∈[0,1]若对任意x∈[0,1]总存在,使g(x)=f(x)成立,求a的取值范围
g(x)=x^3-3a^2x-2a
g'(x)=3x^2-3a^2=3(x^2-a^2)
当g'(x)=3(x^2-a^2)>0时，g(x)单调递增,a≤1/8
当g'(x)=3(x^2-a^2)<0时，g(x)单调递减,a≤1/8
故a≤1/8与a≥1矛盾

Answer 3

广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为X万美元，可获得的加工费近似地为
1
2
ln（2x+1）万美元，受美联储货币政策的影响，美元€值，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元赔值而损失mx万美元，其中m为该时段美元的贬值指数是m∈（0，1），从而实际所得的加工费为f（x）=
1
2
ln（2x+1）-mx（万美元）．
（1）若某时期美元贬值指数m=
1
200
，为确保企业实际所得加工费随X的增加而增加，该企业加工产品订单的金额X应在什么范围内？
（2）若该企业加工产品订单的金额为X万美元时共需要的生产成本为
1
20
x万美元，己知该企业加工生产能力为x∈[10，20]（其中X为产品订单的金额），试问美元的贬值指数m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．

Answer 4

(1)
f'(x)=[8x(2-x)+(4x^2-7)]/(2-x)^2=(-4x^2+16x-7)/(2-x)^2
=-(2x-7)(2x-1)/(2-x)^2
x∈[0,1]
当1/2<x<=1,f'(x)>0,f(x)增
当0<=x<1/2,f'(x)<0,f(x)减
当x=1/2,f'(x)=0,f(x)极小=f(1/2)=(4*1/4-7)/(2-1/2)=-4
f(0)=-7/2,f(1)=-3
∴单调区间:[0,1/2)减,(1/2,1]增
值域:[-4,-3]
(2)
[实际上就是要求g(x)的值域包含f(x)的值域]
g'(x)=3x^2-3a^2=3(x+a)(x-a)
a>=1
当x>a,g'(x)>0,g(x)增
当-a<x<a,g'(x)<0,g(x)减
当x<-a,g'(x)>0,g(x)增
当x=-a,g'(x)=0,g(x)极大
当x=a,g'(x)=0,g(x)极小
x∈[0,1],a>=1
g(x)单调递减
g(0)=-2a>=-3,a<=3/2
g(1)=1-3a^2-2a<=-4,a>=1或a<=-5/3
∴1<=a<=3/2