Question

高数题：一道二重积分

Answer 1

【答案不可能是sin1-1，因为原积分函数在积分区域≥0，】

追问

我算出来也是1-sin1 难道答案错了？

追答

嗯，我是这样认为的，在那个积分区域上，siny/y很明显是大于0的，积分出来的结果是不可能小于0的，怎么可能是sin1-1呢

Answer 2

I=∫<0,1>dx∫<x, √x>(siny)/ydy是y=√x和y=x围成的区域的积分。x和y的积分次序交换，
I=∫<0,1>dy∫<y^2, y>(siny)/ydx=∫<0,1>(siny)(y-y^2)/ydy=∫<0,1>(siny)(1-y)dy
=1-sin1

Answer 3

由于积分区域D＝{（x,y）|x≤y≤√x,0≤x≤1}.区域即是y＝√x与y＝x所包围的区域。所以把D看作Y型区域，则D＝｛（x,y）｜y²≤x≤y,0≤y≤1｝所以原式＝∫dy∫siny/ydx＝（siny－ysiny）dy＝（-cosy＋ycosy-siny）上限1下限0＝1-sin1