关于柯西中值定理的证明 几何意义存在一些疑问
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你把两个函数 x=F(t), x=G(t) 这样画在一起不利于解释 Cauchy 中值定理, 因为这样得到的只是两组线段比相等, 即使转换成面积比仍然不够直观.
一般来讲 Cauchy 中值定理都是按曲线的参数方程的形式来解释的, 就是说在 xoy 平面上画一条曲线 x=F(t), y=G(t), 把 t 作为参数, 这样Cauchy 中值定理的几何意义就是曲线上存在和端点弦平行的切线, 与 Rolle 中值定理以及 Lagrange 中值定理就统一了. 尽管这里得到也是两组线段比相等, 但这里的线段比可以翻译成斜率, 所以几何意义就清楚很多.
另外, 几何意义非常重要, 但也只是辅助理解的, 不能完全依赖于几何, 最终定理的证明并不是纯几何的, 而是形式化的推导.
一般来讲 Cauchy 中值定理都是按曲线的参数方程的形式来解释的, 就是说在 xoy 平面上画一条曲线 x=F(t), y=G(t), 把 t 作为参数, 这样Cauchy 中值定理的几何意义就是曲线上存在和端点弦平行的切线, 与 Rolle 中值定理以及 Lagrange 中值定理就统一了. 尽管这里得到也是两组线段比相等, 但这里的线段比可以翻译成斜率, 所以几何意义就清楚很多.
另外, 几何意义非常重要, 但也只是辅助理解的, 不能完全依赖于几何, 最终定理的证明并不是纯几何的, 而是形式化的推导.
追问
线段比和面积比怎么表示？
追答
这个你自己看着办了
想想图里F(a), F(b)各自在哪里, F(b)-F(a)表示哪条线段, [F(b)-F(a)](b-a)/2是哪个三角形的面积
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