Question

高数-对坐标的曲面积分的一道例题

其中：

为什么等于0？是根据什么性质么？还是根据二重积分算出来的，只不过书上没有写过程？

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Answer 1

被积函数是关于x的奇函数，积分区域关于y轴为对称，所以积分值为0。这是与定积分性质相类似的一个性质。

追问

能写一下证明过程么？

追答

证定积分的吧
设奇函数f(x)在[-a,a]上连续，证明∫[-a,a]f(x)dx=0
证： ∫[-a,a]f(x)dx=∫[-a,0]f(x)dx+∫[0,a]f(x)dx
对∫[-a,0]f(x)dx做变换，令x=-t 则dx=-dt 当x=-a时 t=a, 当x=0时 t=0
∵f(x)是奇函数 ∴f(-t)=-f(t)
从而有
∫[-a,0]f(x)dx
=-∫[a,0]f(-t)dt
=∫[a,0]f(t)dt
=-∫[0,a]f(t)dt
=-∫[0,a]f(x)dx
因而有：∫[-a,a]f(x)dx=∫[-a,0]f(x)dx+∫[0,a]f(x)dx=∫[-a,a]f(x)dx=-∫[0,a]f(x)dx+∫[0,a]f(x)dx=0
得证。

Answer 2

区域对称性和被积函数奇偶性

Answer 3

积分区域关于y轴对称，积分函数是关于x的奇函数，所以为0