Question

已知数列{an}满足a1=35，2an+1an+an+1=3an，n∈N．（1）...

已知数列{an}满足a1=35，2an+1an+an+1=3an，n∈N． （1）求证：数列{1an-1}为等比数列； （2）是否存在互不相等的正整数m，s，t，使m，s，t成等差数列，且am-1，as-1，at-1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m，s，t，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：因为2an+1an+an+1=3an，所以1an+1=13an+23．
所以1an+1-1=13（1an-1）．
因a1=35，则1a1-1=23．
所以数列{1an-1}是首项为23，公比为13的等比数列．-----------------------（4分）
（2）由（1）知，1an-1=23n，所以an=3n3n+2．----------------（6分）
假设存在互不相等的正整数m，s，t满足条件，
则有m+t=2s(as-1)2=(am-1)(at-1)，
因为an=3n3n+2，
所以(3s3s+2-1)2=（3m3m+2-1）（3t3t+2-1）．
即3m+t+2×3m+2×3t=32s+4×3s．
因为m+t=2s，所以3m+3t=2×3s．
因为3m+3t≥23m+t2×3s，当且仅当m=t时等号成立，
这与m，s，t，互不相等矛盾．所以不存在互不相等的正整数m，s，t，满足条件．-------（12分）