Question

求微分方程通解 y''+y'=x^2+cosx

Answer 1

齐次特征方程

r^2+r=0

r=0,r=-1

所以齐次通解是y=C1+C2e^(-x)

非齐次分两部分

y''+y'=x^2和y''+y'=cosx

设第一部分特解是y1=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

y'=4ax^3+3bx^2+2cx+d

y''=12x^2+6bx+2c

代入得

12x^2+6bx+2c+4ax^3+3bx^2+2cx+d=x^2

4ax^3+(3b+12)x^2+(2c+6b)x+d+2c=x^2

a=0,3b+12=1,2c+6b=0,d+2c=0

a=0,b=-11/3,c=11,d=-22

y1=-11/3x^3+11x^2-22x+e

设第二部分特解是y2=asinx+bcosx

y'=acosx-bsinx

y''=-asinx-bcosx

代入得

-asinx-bcosx+acosx-bsinx=cosx

(-a-b)sinx+(a-b)cosx=cosx

a-b=1,-a-b=0

a=1/2,b=-1/2

y2=1/2sinx-1/2cosx

所以非齐次通解是

y=C1+C2e^(-x)-11/3x^3+11x^2-22x+e+1/2sinx-1/2cosx

=C+C2e^(-x)-11/3x^3+11x^2-22x+1/2sinx-1/2cosx

学数学技巧

1、抓住课堂。理科学习重在平日功夫，不适于突击复习。平日学习最重要的是课堂45分钟，听讲要聚精会神，思维紧跟老师。高质量完成作业。写作业时，有时同一类型的题重复练习，这时就要有意识的考查速度和准确率，并且在每做完一次时能够对此类题目有更深层的思考。

2、对不会做的错题：弄懂每一个步骤，并思考为什么，针对算错了的错题，如果经常出现这样的情况那么你就要：改变计算方式和习惯，比如学会检查和算两次提高准确度。

重点是要去思考，思考的深度越深，学习得就更加透彻，就会用少量的题达到很高的效果。但这样的思考不是凭空的，而是建立在错题上的思考。

Answer 2

齐次特征方程
r^2+r=0
r=0,r=-1
所以齐次通解是y=C1+C2e^(-x)
非齐次分两部分
y''+y'=x^2和y''+y'=cosx
设第一部分特解是y1=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
y'=4ax^3+3bx^2+2cx+d
y''=12x^2+6bx+2c
代入得
12x^2+6bx+2c+4ax^3+3bx^2+2cx+d=x^2
4ax^3+(3b+12)x^2+(2c+6b)x+d+2c=x^2
a=0,3b+12=1,2c+6b=0,d+2c=0
a=0,b=-11/3,c=11,d=-22
y1=-11/3x^3+11x^2-22x+e
设第二部分特解是y2=asinx+bcosx
y'=acosx-bsinx
y''=-asinx-bcosx
代入得
-asinx-bcosx+acosx-bsinx=cosx
(-a-b)sinx+(a-b)cosx=cosx
a-b=1,-a-b=0
a=1/2,b=-1/2
y2=1/2sinx-1/2cosx
所以非齐次通解是
y=C1+C2e^(-x)-11/3x^3+11x^2-22x+e+1/2sinx-1/2cosx
=C+C2e^(-x)-11/3x^3+11x^2-22x+1/2sinx-1/2cosx

Answer 3

e^x(y''+y')=x^2e^x+cosxe^x
(y'e^x)=x^2e^x+cosxe^x
两边积分：y'e^x=∫x^2e^xdx+∫cosxe^xdx
其中，∫x^2e^xdx=x^2e^x-2∫xe^xdx=x^2e^x-2xe^x+2∫e^xdx=x^2e^x-2xe^x+2e^x+C
∫cosxe^xdx=cosxe^x+∫sinxe^xdx=cosxe^x+sinxe^x-∫cosxe^x
所以∫cosxe^xdx=(sinx+cosx)e^x/2+C
所以y'e^x=(x^2-2x+2)e^x+(sinx+cosx)e^x/2+C1
y'=x^2-2x+2+(sinx+cosx)/2+C1e^(-x)
两边积分：y=x^3/3-x^2+2x+(sinx-cosx)/2+C1e^(-x)+C2
感觉好像没有 经济学硕士午后蓝山 里面那么多的11啊。。。

Answer 4