Question

如图，矩形OABC两条边OA、OC分别在坐标轴上，其中点B的坐标是（4 , 5），D是线段BC上一点，将矩形沿AD折

Answer 1

在RTΔOAE中，AE=AB=5，OA=4，∴OE=√(AE^2-OA^2)=3，
∴CE=OC-OE=2，
设CD=m，则DE=DB=4-m，
在RTΔCDE中，DE^2=CE^2+CD^2，
(4-m)^2=4+m^2，m=3/2，∴E(0，3)，D(3/2，5)，
∵tan∠EFO=OE/OF=2，∴OF=3/2，∴F(-3/2，0)。
⑵易得直线EF解析式为：Y=2X+3，直线AD：Y=-2X+8，
联立方程组：
Y=2X+3
Y=-2X+8，
解得：X=5/4，Y=11/2，∴P(5/4，11/2)，
分别求PF、PA得PF=PA=√(4+121/4)=√139/2，
∴ΔPAF是等腰三角形。
(或过D作DQ⊥OA于Q，AQ=BD=4-3/2=5/2，
∴tan∠DAO=AQ/DQ=2，∴∠EFO=∠DAO，
∴PF=PA，∴ΔPAF是等腰三角形)
⑶①当0≤t≤3/2时，OF‘=3/2-t，OE’=3-2t，
SΔOE‘F’=1/2OF‘*OE’=1/2(3/2-t)(3-2t)=1/4(3-2t)^2，
直线A‘E’与AE平行且过(4+t，0)得直线 A‘E解析式为：Y=-3/4X+(1+3/4t)，
设A‘E’与AD相交于R，
解方程组：
Y=-2X+8
Y=-3/4X+(1+3/4t)
得：X=(28-3t)/5，Y=(6t-16)/5，
∴R的纵坐标为(6t-16)/5，SΔAA’R=1/2t*(6t-16)/5=(3t^2-8t)/5，
∴S=SΔAEF-SΔOE‘F’-SΔAA‘R=33/4-1/4(3-2t)^2-(3t^2-8t)/5，(整理略)；
②在直线AD中，当Y=3，即-2X+8=3时，X=5/2，
当3/2<t≤5/2时，
S=SΔAEF-SΔAA’R=33/4-(3t^2-8t)/5，
③当5/2<t≤4时，
直线AF：Y=2X-(t-3/2)/2与AD相交于M的纵坐标(35-2t)/8，
∴S=1/2AF*(35-2t)/8=1/2(11/2-t)(35-2t)/8。