Question

大神求解：一道高数题

题错了





Answer 1

令x=0：f(0)=0
在那个积分里，令u=x-t
则那个积分=∫(x→0)f(u)d(x-u)=∫(0→x)f(u)du
两边对x求导：f'(x)=f(x)+x
f'(x)-f(x)=x
e^(-x)(f'(x)-f(x))=xe^(-x)
(f(x)e^(-x))'=xe^(-x)
两边积分：f(x)e^(-x)=∫xe^(-x)dx=-xe^(-x)+∫e^(-x)dx=-xe^(-x)-e^(-x)+C
f(x)=-x-1+Ce^x
令x=0：0=-1+C,C=1
所以f(x)=-x-1+e^x

Answer 2

右边积分设x-t=u 代入：
f(x)=∫(x,0)f(u)(-dt)+x^2/2=∫(0,x)f(u)du+x^2/2 f(0)=0
两边求导得：f'(x)=f(x)+2x
这是一阶线性微分方程，由通解公式：
f(x)=Ce^(x)-2x-2 , f(0)=0代入C=2
f(x)=2e^(x)-2x-2

追问

想问一下 积分怎么还是0到x 呢 是没变吗

追答

变了，开始是(x,0)，∫(x,0)f(u)(-dt)+x^2/2=∫(0,x)f(u)du+x^2/2

Answer 3

没学过。。。。。。