已知函数f(x)=lnx-ax+2在点(1,f(1))处的切线与直线l:x-y-...

已知函数f(x)=lnx-ax+2在点(1,f(1))处的切线与直线l:x-y-1=0垂直,(1)求实数a的值和函数f(x)的单调区间;(2)若g(n)=1+12+13+... 已知函数f(x)=lnx-ax+2在点(1,f(1))处的切线与直线l:x-y-1=0垂直, (1)求实数a的值和函数f(x)的单调区间; (2)若g(n)=1+12+13+…+1n,h(n)=lnn,数列{an}:an=2g(n)-h(n),求实数m的取值范围,使对任意n∈N*,不等式an>log2m-4logm2-1恒成立. 展开
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仇灵敛令飒
2020-02-26 · TA获得超过4202个赞
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解:(1)由已知f′(x)=
1
x
-a,f′(1)=1-a=-1,
∴a=2.
由f′(x)=
1
x
-2>0,解得0<x<
1
2

由f′(x)=
1
x
-2<0,解得x>
1
2

∴函数f(x)的单调递增区间是(0,
1
2
),单调递减区间是(
1
2
,+∞).
(2)由已知an=2g(n)-lnn=2(1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
)-lnnan+1=2(1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n+1
)-ln(n+1),
∴an+1-an=
2
n+1
+lnn-ln(n+1)=ln
n
n+1
-
2n
n+1
+2,
由(1)知函数f(x)在区间[
1
2
,1]上单调递减
由于
1
2

n
n+1
<1,∴ln
n
n+1
-
2n
n+1
+2=f(
n
n+1
)>f(1)=0即an+1>an.
∴log2m-4logm2-1<(an)min=a1=2,
解得
1
2
<m<16且m≠1.
∴实数m的取值范围是(
1
2
,1)∪(1,16).
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