Question

已知函数f（x）=lnx-ax+2在点（1，f（1））处的切线与直线l：x-y-...

已知函数f（x）=lnx-ax+2在点（1，f（1））处的切线与直线l：x-y-1=0垂直， （1）求实数a的值和函数f（x）的单调区间； （2）若g（n）=1+12+13+…+1n，h（n）=lnn，数列{an}：an=2g（n）-h（n），求实数m的取值范围，使对任意n∈N*，不等式an＞log2m-4logm2-1恒成立．

Answer 1

解：（1）由已知f′(x)=
1
x
-a，f′（1）=1-a=-1，
∴a=2．
由f′(x)=
1
x
-2＞0，解得0＜x＜
1
2
，
由f′(x)=
1
x
-2＜0，解得x＞
1
2
．
∴函数f（x）的单调递增区间是(0，
1
2
)，单调递减区间是(
1
2
，+∞)．
（2）由已知an=2g(n)-lnn=2(1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
)-lnnan+1=2(1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n+1
)-ln(n+1)，
∴an+1-an=
2
n+1
+lnn-ln(n+1)=ln
n
n+1
-
2n
n+1
+2，
由（1）知函数f（x）在区间[
1
2
，1]上单调递减
由于
1
2
≤
n
n+1
＜1，∴ln
n
n+1
-
2n
n+1
+2=f(
n
n+1
)＞f(1)=0即an+1＞an．
∴log2m-4logm2-1＜（an）min=a1=2，
解得
1
2
＜m＜16且m≠1．
∴实数m的取值范围是(
1
2
，1)∪(1，16)．