Question

数学几何题，要用上等腰三角形的性质来解题

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF//AC交DE的延长线于点F，连接CF,交AD于G。（1）求证：AD⊥CF（2）连接AF是判断△ACF的形状，并说理由。

Answer 1

（1）在等腰直角三角形ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°．
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∴∠BDE=45°．
又∵BF∥AC，
∴∠CBF=90°．
∴∠BFD=45°=∠BDE．
∴BF=DB．
又∵D为BC的中点，
∴CD=DB．
即BF=CD．
在△CBF和△ACD中，
{BF=CD∠CBF=∠ACD=90°CB=AC，
∴△CBF≌△ACD．
∴∠BCF=∠CAD．
又∵∠BCF+∠GCA=90°，
∴∠CAD+∠GCA=90°．
即AD⊥CF．
（2）△ACF是等腰三角形，
理由：由（1）知：CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，
∴BE垂直平分DF，即AF=AD，
∴CF=AF．
∴△ACF是等腰三角形．
望采纳