Question

在三角形abc中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且1+tanA/tanB=2c/b，则∠A=

Answer 1

∵1＋tanA/tanB＝2c/b，
∴结合正弦定理，容易得出：1＋tanA/tanB＝2sinC/sinB，
∴tanA＋tanB＝2sinC/sinB］tanB，　
∴sinA/cosA＋sinB/cosB＝2sinC/cosB，
∴（sinAcosB＋cosAsinB）/（cosAcosB）＝2sinC/cosB，
∴sin（A＋B）/cosA＝2sinC，　
∴sin（180°－C）/cosA＝2sinC，　
∴sinC/cosA＝2sinC，
显然，sinC＞0，
∴1/cosA＝2，
∴cosA＝1/2，
∴∠A＝60°。
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Answer 2

60°
cosB,cosA,sinB,sinA都不为0
tanA/tanB=2c/b-1=2sinC/sinB-1=(2sinC-sinB)/sinB
两边同乘以sinB
sinAcosB/cosA=2sinC-sinB
两边同乘以cosA
sinAcosB=2sinCcosA-sinBcosA
移项
sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA
sin(A+B)=2sinCcosA
∠C不为0°或180°，所以sinC不为0
且sin（A+B)=sin（180°-A-B）=sinC=2sinCcosA
同除以sinC
1=2cosA
cosA=1/2
∠A在0°到180°范围内
所以∠A=60°

Answer 3

∵1 tanA/tanB=2c/b
∴tanB tanA=2tanB*c/b,
∵c/b=sinC/sinB
∴tanB tanA
=2tanB*sinC/sinB
=2sinC/cosB
即tanB tanA=2sinC/cosB
sinB*cosA sinA*cosB=2sinC*cosA
sin(A B)=2sinC*cosA,
∵sinC=sin(A B), ∴sinC=2sinC*cosA,
∵sinC≠0
∴cosA=1/2＞0(∴A是锐角）
∴A=π/3
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