Question

已知三角形ABC的三个内角A.B.C满足2B=A+C且三个内角的对边分别为a.b.c.求证：1/a+b+1/b+c=3/a+b+c

帮帮我

Answer 1

2B=A+C，则A+B+C=3B=180 B=60度。方法一，分析法，这种方法简单些。欲证1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c) 须证(a+2b+c)/[(a+b)(b+c)]=3/(a+b+c)即须证3(a+b)(b+c)=(a+2b+c)(a+b+c)即须证[展开并移项整理] b^2=a^2+c^2-ac [^2指平方]而根据余弦定理，有 b^2=a^2+c^2-2ac*cosB=a^2+c^2-ac因此问题得证。方法二，综合法，要复杂得多，就是把分析法的步骤通过添项去项，一步步倒回去。由于b^2=a^2+c^2-ac，于是a^2+c^2-b^2-ac=0 即0=a^2+c^2-b^2-ac两边同时添上3ab+3bc+3b^2+3ac得，3ab+3bc+3b^2+3ac=a^2+2b^2+c^2+3ab+2ac+3bc = a^2+ab+ac+2ab+2b^2+2bc+ac+bc+c^2即3b(b+c)+3a(b+c)=a(a+b+c)+2b(a+b+c)+c(a+b+c)即3(a+b)(b+c)=(a+b+b+c)(a+b+c)所以3/(a+b+c)=(a+b+b+c)/[(a+b)(b+c)]即3/(a+b+c)=1/(b+c)+1/(a+b)建议用第一种。

Answer 2

MM，解答如下：证明：因为A、B、C是三角形ABC的三个内角所以A+B+C=180°又因为2B=A+C所以2B=180°-B所以B=60°由余弦定理得：cosB＝（a�0�5+c�0�5-b�0�5)/(2ac)=cos60°=1/2
化简得：a�0�5+c�0�5-b�0�5=ac等式两边都加上ab+bc得a�0�5+c�0�5-b�0�5+ab+bc=ab+bc+ac移项得：a�0�5+c�0�5+ab+bc=ab+bc+ac+b�0�5提取公因式得：a(a+b)+c(b+c)=(a+b)(b+c)等式两边都除以(a+b)(b+c)得：c/(a+b)+a/(b+c)=1等式两边都加2得：c/(a+b)+1+a/(b+c)+1=3通分得：(a+b+c)/(a+b)+(a+b+c)/(b+c)=3
整理得：1/a+b+1/b+c=3/a+b+c证明完毕！