Question

如图T1-19，在三角形abc中，角c=90度，ac=6，bc=8，以斜边ab的中点p为旋转中心，

如图T1-19，在三角形abc中，角c=90度，ac=6，bc=8，以斜边ab的中点p为旋转中心，把这个三角形按顺时针方向旋转90度，得三角形a'b'c，边b'c'交边ab于点m，那三角形b'mp的面积为？（求详细过程）

Answer 1

先分析一下此题：如图

因△A‘B’C‘是由原△ABC绕斜边AB中点P旋转90°得来的，所以△A‘B’C‘与△ABC是全等的，在求解时我们可以不看原△ABC，将图形转换成右边一个图就容易多了。其实就是利用相似比求面积，有两种方法：一种是利用相似比求出边长，再求面积；一种是直接求原三角形面积，利用相似比计算所求三角形的面积。

解：如图

∵△A‘B’C‘是由原△ABC绕斜边AB中点P旋转90°得来的

∴△A‘B’C‘≌△ABC，AB⊥A’B‘

∵∠MB’P=∠A‘B’C‘，∠MPB‘=∠C’=90°

∴△MB’P∽△A‘B’C‘

∴B‘P/B’C‘=5/8

∴△MB’P与△A‘B’C‘的相似比为5/8

∴MP/A’C‘=MP/6=5/8

∴MP=15/4

∴S△MB’P=1/2B’P*MP=(1/2)*5*(15/4)=75/8

或者用如下解法：

解：如图

∵△A‘B’C‘是由原△ABC绕斜边AB中点P旋转90°得来的

∴△A‘B’C‘≌△ABC，AB⊥A’B‘

∵∠MB’P=∠A‘B’C‘，∠MPB‘=∠C’=90°

∴△MB’P∽△A‘B’C‘

∴B‘P/B’C‘=5/8

∴△MB’P与△A‘B’C‘的相似比为5/8

∴S△MB’P/S△A‘B’C‘=(5/8)²=25/64

∵S△A‘B’C‘=1/2A'C'*B'C'=(1/2)*6*8=24

∴S△MB’P=24*(25/64)=3*(25/8)=75/8