Question

已知函数f(x)=-x^2+2ex+m-1, g(x)=x+(e^2)/x (x>0)

已知函数f(x)=-x^2+2ex+m-1, g(x)=x+(e^2)/x (x>0)(1)若函数h(x)=g(x)-m有零点， 求m的取值范围（2）确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根

Answer 1

解：（1）方法一：∵g（x）=x+e^2/x ≥2e^2=2e，等号成立的条件是x=e．
故g（x）的值域是[2e，+∞），
因而只需m≥2e，则g（x）=m就有实根．
故m的取值范围是{m|m≥2e}．
方法二：解方程由g（x）=m，得x^2-mx+e^2=0．
此方程有大于零的根，
故 m/2 ＞0
△=m^2-4e^2≥0 ，
等价于 m＞0
m≥2e或m≤-2e ，
故m≥2e．
故m的取值范围是{m|m≥2e}．
（2）若g（x）-f（x）=0有两个相异的实根，
即g（x）=f（x）中，函数g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点，
作出g（x）=x+e^2/x （x＞0）的图象，
∵f（x）=-x^2+2ex+m-1
= --(x-e)^2+m-1+e^2，
其对称轴为x=e，开口向下，最大值为m-1+e^2，
故当m-1+e^2＞2e，
即m＞-e^2+2e+1时，
g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点，
即g（x）-f（x）=0有两个相异的实根，
∴m的取值范围是：（-e^2+2e+1，+∞）．