Question

问一道微分方程的题？

这个题的y1*和y2*还有特解的形式是为什么设成这个样子啊？

Answer 1

常系数线性微分方程满足叠加原理。可以设y=y1+y2
y1''+4y1=x/2
y2''+4y2=cos2x/2

右边是一次函数，有一次函数的特解：y''=0,4y是1次的，两边次数相同，调整系数使相等即可。
y2是根据经验来的。其实可以用“变常数”法，解法更通用，更好把握。把齐次方程的通解中的常数C1、C2也看成是x的函数，且其解是原方程的特解。
y2=C1cos2x+C2sin2x
y2'=C1'cos2x-2C1sin2x+C2'sin2x+2C2cos2x
y2''=C1''cos2x-4C1'sin2x-4C1cos2x+C2''sin2x+4C2'cos2x-4C2sin2x
代入：
y2''+4y2=cos2x/2
C1''cos2x-4C1'sin2x-4C1cos2x+C2''sin2x+4C2'cos2x-4C2sin2x+4C1cos2x+4C2sin2x=cos2x/2
C1''cos2x-4C1'sin2x+C2''sin2x+4C2'cos2x=cos2x/2
（C1''-1/2+4C2')cos2x+(C2''-4C1')sin2x=0
C1''-1/2+4C2'=0
C2''-4C1'=0
前式再求导一次：
C1'''+4C2''=0
后式×4：
4C2''-16C1'=0
相减：
C1'''+16C1'=0
求一个特解即可，选简单的，C1=常数；
C1''=0
C2'=1/8
C2=x/8
特解：y2=C1cos2x+（1/8）xsin2x
y2'=-2C1sin2x+（1/8）sin2x+（1/4）xcos2x
y2''=-4C1cos2x+(-1/4)cos2x+(1/4)cos2x-(1/2)xsin2x
=-4C1cos2x-(1/2)xsin2x
y2''+4y2=-4C1cos2x-(1/2)xsin2x+(1/2)xsin2x=-4C1cos2x=cos2x/2
C1=-1/8
y2=（1/8）（cos2x+xsin2x）

追问

哇，谢谢谢谢

还有一个问题为什么可以把x/2和cos2x/2拆成两个方程

追答

分拆成两类简单函数，便于求解。
变常数法，通用性强，适应范围广，是解微分方程的利器，应该认真掌握。

追问

好吧👌🏻