在三角形ABC中,cosC+(cosA-根号3sinA)cosB=0,(1)求角B,(2)若a+c=1,求b的范围
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(1)cosC+(cosA-根号3sinA)cosB=0
-cos(A+B)+(cosA-根号3sinA)cosB=0
sinAsinB-cosAcosB+cosAcosB-√3sinAcosB=0
sinAsinB-√3sinAcosB=0
siA不等于0
sinB-√3cosB=0
tanB=√3
B=π/3
(2)a+c=1
a²+2ac+c²=1
b²=a²+c²-2accosB=1-2ac-ac=1-3ac
∵a+c=1,1 > a>0 ,1 >c>0
故可令 a=sin²α, c=cos²α 0<α<π/2
1-3ac=1-3sin²αcos²α=1-3/4( sin2a)²=1-3/4 (1-cos4α)/2=1-3/8+3/8cos4α=5/8+3/8cos4α
0<α<π/2 0<4α<2π
cos4α=1 1-3ac 有最大值 1 (此时α=0 由于 0<α 故最大值<1)
cos4α=-1 1-3ac 有最小值 1/4 (此时 4α=π ,α=π/4 a=c=sin²α=1/2 )
1 >b²≥1/4
1 >b≥1/2
-cos(A+B)+(cosA-根号3sinA)cosB=0
sinAsinB-cosAcosB+cosAcosB-√3sinAcosB=0
sinAsinB-√3sinAcosB=0
siA不等于0
sinB-√3cosB=0
tanB=√3
B=π/3
(2)a+c=1
a²+2ac+c²=1
b²=a²+c²-2accosB=1-2ac-ac=1-3ac
∵a+c=1,1 > a>0 ,1 >c>0
故可令 a=sin²α, c=cos²α 0<α<π/2
1-3ac=1-3sin²αcos²α=1-3/4( sin2a)²=1-3/4 (1-cos4α)/2=1-3/8+3/8cos4α=5/8+3/8cos4α
0<α<π/2 0<4α<2π
cos4α=1 1-3ac 有最大值 1 (此时α=0 由于 0<α 故最大值<1)
cos4α=-1 1-3ac 有最小值 1/4 (此时 4α=π ,α=π/4 a=c=sin²α=1/2 )
1 >b²≥1/4
1 >b≥1/2
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