Question

冲激函数∫δ（t²-4t＋3）怎么求

如上，积分区间为（-2，2）的冲激函数∫δ（t²-4t＋3）怎么求？当积分区间为（-∞，＋∞）时，结果肯定为1，但是（-2，2）里只含有一个根t＝1，当t＝1时，这个冲激函数的长度是多少？怎么求？求高人解答。

Answer 1

单位冲激函数积分性质：∫δ（t）=1; 而δ（t）除开t=0处为无穷大外，其他均为0.
所以，计算∫δ（t）dt时，仅需考虑 0- 和 0+ 的情况即可，因为其他地方δ（t）为零，积分也必然为零嘛。
你这道题目，首先，算t²-4t＋3零点。易知：t1=1, t2=3.

所以，
1. 当积分区间为（-∞，＋∞）时，仅有(t1-,t1+)和(t2-,t2+)会影响结果。而在这两个区间的积分均为1，所以结果是1+1=2，而不是你说的“结果肯定为1”

2. 积分区间为（-2，2）时，仅仅t1=1在该区间内，仅有(t1-,t1+)会影响结果，所以积分为1.

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追问

这个函数理解有点困难，只要在零点积分就是1吗？为什么呢？

追答

是的，只要零点积分就是1。这个函数的定义决定它这个性质的，没有为什么，人为规定的。为什么定义其积分一定是1呢？而不是2、3之类呢？因为单位冲击函数只要乘以相关系数，例如2，就得到积分是2.所以只要有单位冲击函数，就可以表达其他倍率冲击函数了

追问

它可以看成阶越函数ε（t²-4t＋3）的导数，所以在（-∞，1）时，（t-1）（t-3）大于零，阶越函数等于1，在（1，3）等于0，在（3，＋∞）时就等于1，所以在1点的导数岂不是等于-∞？

追答

冲击函数的导数绝对值本身就是无穷大呀，这很正常，你说的“导数岂不是等于-∞”正确，但只是左导数而已，你如果从反方向来看，就是+∞，就是满足冲击函数性质。没什么问题呀！

这种奇异函数，你只要记住它的积分性质是这样，然后运用学到的高数知识的积分性质解就是了。函数本身就是抽象理想化，现实是不存在的。只是理想模型的产物，你是在学电学吗现在？

追问

哦，明白了，问题有点多，嘿嘿，谢谢啦！

追答

好，加油！