Question

已知a+b+c=2，0<a,b,c<1,求证1<ab+ac+bc

Answer 1

让我怀念起小学的日子。
证明：只需证：2(ab+ac+bc)>2;
2(ab+ac+bc)>a+b+c;
有：
2(ab+ac+bc)=a(b+c)+b(a+c)+c(a+b);
相信你可以看出这个时候只需要证明：
b+c>1;a+c>1;a+b>1;即可；
这个用反证法就可以证明：
例如：
假设 b+c<=1;
则:
b+c+a<=1+a;
2<=1+a;
有：1<=a;
与题意中0<a,b,c<1矛盾；
同理可以证明：
a+c>1;
a+b>1;
所以有a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)>a*1+b*1+c*1;
a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)>2;
2(ab+ac+bc)>2;
1<ab+ac+bc;

Answer 2

（a-1）（b-1）（c-1）<0
即abc-（ab+bc+ac ）+（a+b+c）-1<0
ab+bc+ac<abc+1