Question

有两道题：①设f'(x)=x（x－1）（x－2）（x－3），则f'（x）有____个零点？

②设f'(x)=（x－1）（x－2）（x－3)（x－4），则f'（x）有____个零点

Answer 1

楼上两位都是在想当然。

两个题的思路差不多，用第①题举例：

f'(x)有4个零点，函数的单调性分布如下：

(-无穷,0)：增； [0,1)：减； (1,2]：增；(2,3]：减；(3,+无穷)：增

极值点x=0,1,2,3

增减性可以确定，但函数无论是增还是减，都不能保证一定在哪个区间“穿过”x轴。

积分后求原函数：f(x)=∫f'(x)dx+C，坏就坏在这个常数C上。

如果C是绝对值很大的负数，那么∫f'(x)dx的图像就要往下平移很多个单位，只能确定(3,+无穷)这个增区间与x轴肯定有一个交点，其余都可以不与x轴相交。

对应的，如果C是绝对值很大的正数，只能确定(-无穷,0)这个增区间与x轴肯定有一个交点。

相反，如果C是绝对值不大的数，甚至C=0，∫f'(x)dx+C不用上下平移，就可能每个增减区间都与x轴有1个交点，最多有5个。

是“最多”有5个，实际上1-5个都有可能。

Answer 2

回答你的问题如下：

1. f'(x)=x(x－1)(x－2)(x－3）有4个零点，分别是：0，1，2，3；

2. f'(x)=(x－1)(x－2)(x－3)(x－4）也是4个零点，分别是：1，2，3，4

一个在其定义域收敛的一元n次函数的零点的个数就是这个函数的最高幂次时，即n个零点。

Answer 3

这道题需要把每一个相成的数得零，因为0×任何数都等于零，所以有四个顶点分别是0123。

Answer 4

f'(x) 有不重复的 4 个零点， 即有 4 个极值点， 则原函数 f(x) 有 5 个零点.

Answer 5

5个吧，零点即为让该函数等于0有几个根。