有两道题:①设f'(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),则f'(x)有____个零点?
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9个回答
2020-11-13 · 知道合伙人教育行家
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楼上两位都是在想当然。
两个题的思路差不多,用第①题举例:
f'(x)有4个零点,函数的单调性分布如下:
(-无穷,0):增; [0,1):减; (1,2]:增;(2,3]:减;(3,+无穷):增
极值点x=0,1,2,3
增减性可以确定,但函数无论是增还是减,都不能保证一定在哪个区间“穿过”x轴。
积分后求原函数:f(x)=∫f'(x)dx+C,坏就坏在这个常数C上。
如果C是绝对值很大的负数,那么∫f'(x)dx的图像就要往下平移很多个单位,只能确定(3,+无穷)这个增区间与x轴肯定有一个交点,其余都可以不与x轴相交。
对应的,如果C是绝对值很大的正数,只能确定(-无穷,0)这个增区间与x轴肯定有一个交点。
相反,如果C是绝对值不大的数,甚至C=0,∫f'(x)dx+C不用上下平移,就可能每个增减区间都与x轴有1个交点,最多有5个。
是“最多”有5个,实际上1-5个都有可能。
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这道题需要把每一个相成的数得零,因为0×任何数都等于零,所以有四个顶点分别是0123。
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f'(x) 有不重复的 4 个零点, 即有 4 个极值点, 则原函数 f(x) 有 5 个零点.
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5个吧,零点即为让该函数等于0有几个根。
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