Question

设椭圆C : x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P是C上的点PF2⊥F1F2,角PF1F2=30°

设椭圆C : x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P是C上的点PF2⊥F1F2,角PF1F2=30°,则C的离心率为

Answer 1

解：
在△F1PF2中，|F1F2|/|PF1|＝cos∠PF1F2＝√3/2，|PF2|/|F1F2|＝tan∠PF1F2＝√3/3
且|F1F2|＝2c
则|PF1|＝2c/(√3/2)＝4c/√3，|PF2|＝2c*√3/3＝(2√3c)/3
由椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2a
则(4c/√3)＋(2√3c)/3＝2a
6√3c＝6a
即e＝c/a＝√3/3
故椭圆C的离心率为√3/3。

Answer 2

将x=c带入椭圆方程，得出Y=b2/a，即，p点纵坐标是b2/a，角PF1F2=30°,所以b2/a/2c=跟号3/3(30°角正切值）《然后交叉相乘得出关于c、a的方程式，即3c2+2跟号3ac-3b2=0,求根公式得出

c=跟号3a/3,所以,e=c/a=跟号3/3

Answer 3

解；
∵/PF1/+/PF2/=2a
PF2⊥F1F2,角PF1F2=30°
∴/PF2/=1/2/PF1/
∴/PF2/=2a/3
/PF1/=4a/3
又/PF2/²+/F1F2/²=/PF1/²
即：
4a²/9+4c²=16a²/9
∴4c²=12a²/9
即c²=a²/3
∴e²=c²/a²=1/3
∴e=根号3/3