线性代数副对角线全为a,其它全部为0的n阶行列式的值
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你说的那个矩阵呢,类似于倒置矩阵。只是倒置矩阵的a倍而已。
有很多方法可以计算。下面给你计算说两种。
法1:递推归纳法
计算出1到4阶的行列式值,然后找出规律,写出猜测递推公式,证明之。略;
法2:观察推理法
先给你看一个4阶的例子。
A =
[ 0, 0, 0, a]
[ 0, 0, a, 0]
[ 0, a, 0, 0]
[ a, 0, 0, 0]
可以看到,这个很接近单位矩阵的a倍吧。这个矩阵是不是可以由4阶的单位矩阵的a倍经过初等变化得到?那不就容易了。经过交换两次就可以得到了。
交换过程如下:先交换第一行和第四行,再交换第二行和第三行。一共交换了两次。
我们知道,行列式交换一次,就需要改变一次符号。这里一共交换了两次,那么符号就是(-1)^2
同理,我们得到如下结论:
如果A是奇数阶(假设为k阶)的,那么需要交换(k-1)/2次
如果A是偶数阶(假设为k阶)的,那么需要交换k/2次
其实不管是多少阶的,我们立马得到行列式的值。答案很简单吧:
合起来写,就是:|A|=(-1)^n *a^n
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错的,如果k等于9,需要变换4次,结果的系数为正,与你的答案矛盾,是不是-1的指数应当为n(n-1)/2
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