线性代数副对角线全为a,其它全部为0的n阶行列式的值

导超
2013-06-20 · TA获得超过5716个赞
知道大有可为答主
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你说的那个矩阵呢,类似于倒置矩阵。只是倒置矩阵的a倍而已。

有很多方法可以计算。下面给你计算说两种。

法1:递推归纳法

计算出1到4阶的行列式值,然后找出规律,写出猜测递推公式,证明之。略;

法2:观察推理法

先给你看一个4阶的例子。

A =
[ 0, 0, 0, a]
[ 0, 0, a, 0]
[ 0, a, 0, 0]
[ a, 0, 0, 0]

可以看到,这个很接近单位矩阵的a倍吧。这个矩阵是不是可以由4阶的单位矩阵的a倍经过初等变化得到?那不就容易了。经过交换两次就可以得到了。

交换过程如下:先交换第一行和第四行,再交换第二行和第三行。一共交换了两次。

我们知道,行列式交换一次,就需要改变一次符号。这里一共交换了两次,那么符号就是(-1)^2

同理,我们得到如下结论:

如果A是奇数阶(假设为k阶)的,那么需要交换(k-1)/2次

如果A是偶数阶(假设为k阶)的,那么需要交换k/2次

其实不管是多少阶的,我们立马得到行列式的值。答案很简单吧:

 

合起来写,就是:|A|=(-1)^n *a^n

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错的,如果k等于9,需要变换4次,结果的系数为正,与你的答案矛盾,是不是-1的指数应当为n(n-1)/2
错的,如果k等于9,需要变换4次,结果的系数为正,与你的答案矛盾,是不是-1的指数应当为n(n-1)/2
moxf1213
2013-06-20 · TA获得超过1157个赞
知道小有建树答主
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=a^n*(-1)^τ(n,n-1,...,2,1)=(-1)^(n(n-1)/2)*a^n;这个是用定义做的
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