Question

已知函数f(x)=2sinωx•cosωx+23cos2ωx-3（其中ω＞0），...

已知函数f(x)=2sinωx•cosωx+23cos2ωx-3（其中ω＞0），直线x=x1、x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为π2． （1）求ω的值； （2）若f(α)=23，求sin(5π6-4α)的值．

Answer 1

解：（1）∵sinωxcosωx=12sin2ωx，cos2ωx=12（1+cos2ωx）
∴f(x)=sin2ωx+3cos2ωx=2sin(2ωx+π3)…（2分），
又∵直线x=x1、x=x2是y=f（x）图象的两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为π2，
∴函数的最小正周期T=2×π2=π…（3分），
由此可得T=2π2ω=πω，解之得ω=1…（4分），
（2）由（1）得函数的解析式为f(x)=2sin(2x+π3)，
由f(α)=23得sin(2α+π3)=13…（8分），
∵5π6-4α=3π2-2(2α+π3)，
∴sin(5π6-4α)=sin[3π2-2(2α+π3)]=-cos2(2α+π3)，…（10分）
∵cos2(2α+π3)=1-2sin2(2α+π3)=1-29=79
∴sin(5π6-4α)=-79…（12分）