Question

D,E为△ABC内的两点。 求证：AB+AC＞BD+DE+CE。

Answer 1

延长ED交AB于F，延长DE交AC于G

∵AF+AG>FG=FD+DE+EG,FB+FD>BD,EG+GC>EC

∴AF+AG+FB+FD+EG+GC>FD+DE+EG+BD+EC

不等式两边同时减FD+EG，得

AF+AG+FB+GC>DE+BD+EC

整理得AF+FB+AG+GC>BD+DE+EC

又∵AB+AC=AF+FB+AG+GC

∴AB+AC>BD+DE+EC

Answer 2

作直线DE分别与AB、AC相交于M、N，

在ΔBDM中，BM+MD>BD，

在ΔAMN中，AM+AN>MN=MD+DE+NE，

在ΔCNE中，NE+CN>CE，

三式相加得：

(BM+AM)+(AN+CN)+DM+EN>BD+DE+CE+DM+EN，

两边消去DM+CN，得：

AB+AC>BD+DE+CE。