Question

在Rt△ＡＢＣ中,. ∠C=90,AC=２０cm,BC=１５cm. 现有动点Ｐ从点Ａ出发, 沿ＡＣ向点Ｃ方

在Rt△ＡＢＣ中,. ∠C=90,AC=２０cm,BC=１５cm. 现有动点Ｐ从点Ａ出发, 沿ＡＣ向点Ｃ方向运动，动点Ｑ从点Ｃ出发, 沿线段ＣＢ也向点Ｂ方向运动. 如果点Ｐ的速度是４cm /秒, 点Ｑ的速度是２cm /秒, 它们同时出发,当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动。设运动的时间为ｔ秒

求:（1）用含ｔ的代数式表示Rt△ＣＰＱ的面积Ｓ；
（2）当ｔ＝３秒时，这时,Ｐ、Ｑ两点之间的距离是多少？
（３）当ｔ为多少秒时，以点Ｃ、Ｐ、Ｑ为顶点的三角形与△ＡＢＣ
相似？

Answer 1

：（1）由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20-4t，
因此Rt△CPQ的面积为S= 12×(20-4t)×2t=20t-4t2cm2；

（2）当t=3秒时，CP=20-4t=8cm，CQ=2t=6cm，
由勾股定理得PQ= CP2+CQ2= 82+62=10cm；

（3）分两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时， CPCA= CQCB，即 20-4t20= 2t15，解得t=3秒；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时， CPCB= CQCA，即 20-4t15= 2t20，解得t= 4011秒．
因此t=3秒或t= 4011秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．