Question

在各项均为正数的数列an中，数列的前n项和Sn满足Sn=1/2（an+1/an)

在各项均为正数的数列an中，数列的前n项和Sn满足Sn=1/2（an+1/an)（1）求a1,a2,a3（2）由（1）猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明

Answer 1

1.A1=1 A2=√2-1 A3=√3-√22.数学归纳法因为 An=Sn-S[n+1]代入Sn=1/2（an+1/an)Sn=1/2×{Sn-S[n+1]+1/(Sn-S[n+1])}所以2Sn=Sn-S[n+1]+1/(Sn-S[n+1])==>2Sn(Sn-S[n+1])=(Sn-S[n+1)^2+1==>2Sn^2-2SnS[n+1]=Sn^2-SnS[n+1]+S[n+1]^2+1==>S[n+1]^2-Sn^2=1猜测Sn^2=n(i)当n=1时 S1^2=A1^2=1 满足条件(2)假设当n=k时 也成立 则S[k+1]^2-Sk^2=1==>S[k+1]^2=Sk^2+1=k+1所以当n=k+1时 也成立所以Sn^2=n ==>Sn=√n因为An=Sn-S[n+1]=√n-√(n-1) 题目又没说一定要假设An=√n-√(n-1)来证明 因为Sn-S[n+1]=An是公理（公理是不用证明的)转移到比较容易用数学归纳法证明的Sn

Answer 2

Sn=1/2(an+1/an)
S(n-1)=Sn-an=1/2(1/an-an)
Sn+S(n-1)=1/an
Sn-S(n-1)=an

Sn^2-S(n-1)^2=1
S1=a1=1/2(a1+1/a1),a1=1

{Sn^2}是首项为S1^2=1,公差为1的等差数列
Sn^2=n
Sn=√n
an=Sn-S(n-1)=√n-√(n-1) 直接求通项式了。