Question

设∑为平面x+y+z=1在第一卦限的上侧,则曲面积分 ∫∫∑xdydz+ydzdx+zdxdy=？

设∑为平面x+y+z=1在第一卦限的上侧,则曲面积分 ∫∫∑xdydz+ydzdx+zdxdy=
求过程和结果

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

设$\sum$为平面$x+y+z=1$在第一卦限的上侧，则曲面积分
$\iint_{\sum}xdydz+ydzdx+zdxdy$
根据高斯公式，有：
$\iint_{\sum}xdydz+ydzdx+zdxdy=\iiint_{\Omega}\left(x+y+z\right)dxdydz$
其中，$\Omega$为平面$x+y+z=1$所围成的区域。
由于平面$x+y+z=1$所围成的区域$\Omega$是关于三个坐标面都对称的，而$x,y,z$又是关于$x,y,z$的奇函数，因此原积分等于零。
因此，$\iint_{\sum}xdydz+ydzdx+zdxdy=0$。
答案：$0$

Answer 3

补成封闭图形，用高斯公式或者直接求积分也行

Answer 4

也可以用对称性直接做，
原积分 = 3∫∫z dx dy
= 3∫[0,1]∫[0,-x+1]1-x-y dy dx
= 3∫[0,1] -（1/2)(1-x-y)^2|[0,-x+1] dx
= 3∫[0,1](1/2)[(1-y)^2 dx
= (-1/2)(1-y)^3|[0,1]
= 1/2