Question

已知函数fx=ax+lnx (a属于R) (1)求fx的单调递增区间 (2)已知gx=4^

已知函数fx=ax+lnx (a属于R) (1)求fx的单调递增区间 (2)已知gx=4^x-3*2^x+1,若对任意的m属于0到正无穷，都存在n属于闭区间0到1，使得fm小于gn，求a的取值范围

Answer 1

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解：1.f'(x)=a+1/x=a(x+1/a)/x
当a>0时, -1/a<0
令f'(x)>0,解得：x>0 或 x<-1/a（舍去）
所以单调递增区间为：(0,+无穷)
当a<0时， -1/a>0
令f'(x)>0,解得：0<x<-1/a
单调递增区间为：(0,-1/a)
单调递减区间为：(-1/a,+无穷)
2.g(x)=x²-2x+2=(x-1)²+1
x∈(0,1) g(x2)=(x2-1)²+1∈(1,2)
当a>0时，f(x)在（0，+无穷）上单调递增，显然此时f(x1)<g(x2)不恒成立，舍去；
当a<0时，f(x)在（0，-1/a）上单调递增，在（-1/a,+无穷）上单调递减
最大值f（-1/a）=-1+ln(-1/a)
因为若对任意x1属于0到正无穷均存在x2属于0到1使得f（x1）<g（x2）
所以f(-1/a)<1
即f（-1/a）=-1+ln(-1/a)<1
ln(-1/a)<2=lne²
因为lnx在(0,+无穷)上单调递增
所以-1/a<e²
a<-1/e²