Question

如图，菱形ABCD的边长为48cm，∠A=60°，动点P从点A出发，沿着线路AB—BD做匀速运动，动点Q从点D同时出发

如图，菱形ABCD的边长为48cm，∠A=60°，动点P从点A出发，沿着线路AB—BD做匀速运动，动点Q从点D同时出发，沿着线路DC—CB—BA做匀速运动. （1）求BD的长；（2）已知动点P、Q运动的速度分别为8cm/s、10cm/s. 经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请问△AMN是哪一类三角形，并说明理由；（3）设问题（2）中的动点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，动点P的速度不变，动点Q的速度改变为 cm/s，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与问题（2）中的△AMN相似，试求 的值.

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

Answer 1

（1）48cm；（2）直角三角形；（3）4或12或24

试题分析：（1）根据菱形的性质结合 可得△ABD是等边三角形，即可求得结果； （2）先分别求得12秒后点P和点Q到达的位置，连结MN，由（1）知△ABD（M）是等边三角形，根据等边三角形即可得到结果； （3）依题意得，3秒时点P走过的路程为24cm，点Q走过的路程为3 cm，分当点Q在NB上时，当点Q在BC上时，当点Q与点C重合时，三种情况，结合菱形的性质进行分析即可. （1）∵四边形ABCD是菱形 ∴AB="BC=CD=AD=48" 又∵ ∴△ABD是等边三角形 ∴BD=AB=48 ∴BD的长为48cm； （2）如图1，12秒后，点P走过的路程为8×12=96 ∴12秒后点P到达点D（M） 又∵12秒后，点Q走过的路程为10×12=120 ∴12秒后点Q到达AB的中点N 连结MN，由（1）知△ABD（M）是等边三角形 ∴MN⊥AB于点N ∴ ∴△AMN是直角三角形； （3）依题意得，3秒时点P走过的路程为24cm，点Q走过的路程为3 cm ∴点E是BD的中点 ∴DE=BE=24 当点Q在NB上时（如图1）， ∴ ∵点E是BD的中点 若EF 1 ⊥DB，则点F 1 与点A重合，这种情况不成立 ∴EF 1 ⊥AB时，∠EF 1 B=∠ANM = 90° 由（1）知∠ABD =∠A = 60° ∴△EF 1 B∽△MAN ∴ ∴ ∴ ， 如图2，由菱形的轴对称性，当点Q在BC上时， ∴点Q走过的路程为36cm ∴ 如图3，当点Q与点C重合时，即点F与点C重合 由（1）知，△BCD是等边三角形 ∴EF 3 ⊥BD于点E，∠EBF 3 =∠A=60° ∴△F 3 EB∽△MNA 此时BF 3 =48 ∴点Q走过的路程为72cm ∴ 综上所述，若△BEF∽△ANM ，则 的值为4cm/s或12cm/s或24cm/s. 点评：解答本题的关键是熟练掌握菱形的四条边均相等；相似三角形的对应边成比例，注意对应字母在对应位置上.