Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是a的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2AB（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；（2）求

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是a的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2AB（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

证明：（1）∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BD ∵ABCD为正方形∴AC⊥BD ∴BD⊥平面PAC 又BD在平面BPD内， ∴平面PAC⊥平面BPD      （6分） （2）在平面BCP内作BN⊥PC垂足为N，连DN， ∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC得DN⊥PC； ∴∠BND为二面角B-PC-D的平面角， 在△BND中，BN=DN= 5 6 a ，BD= 2 a ∴cos∠BND= 5 6 a 2 + 5 6 a 2 -2 a 2 5 3 a 2 =- 1 5