Question

已知抛物线的方程为y2=4x，直线l过定点P（-2，1），斜率为k．若直线l与抛物线有公共点，则k的取值范围是_

已知抛物线的方程为y2=4x，直线l过定点P（-2，1），斜率为k．若直线l与抛物线有公共点，则k的取值范围是______．

Answer 1

由题意可设直线方程为：y=k（x+2）+1，
代入抛物线方程整理可得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*）
（1）直线与抛物线只有一个公共点等价于（*）只有一个根
①k=0时，y=1符合题意；
②k≠0时，△=（4k²+2k-4）²-4k²（4k²+4k+1）=0，整理，得2k²+k-1=0，
解得k=

1

2

或k=-1．
可得，k=

1

2

或k=-1或k=0；
（2）由题意，得2k²+k-1＜0，
∴-1＜k＜

1

2

，且k≠0．
综上可得，则k的取值范围是 ?1≤k≤

1

2

．
故答案为：?1≤k≤

1

2

．