Question

f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，（x 2 +1）f′（x）+2xf（x）＜0，且f（-1）=0，则不等式f（x）＞

f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，（x 2 +1）f′（x）+2xf（x）＜0，且f（-1）=0，则不等式f（x）＞0的解集是（　　） A．（1，+∞） B．（-1，0）∪（1，+∞） C．（-∞，-1） D．（-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

令F（x）=（x 2 +1）f（x）， 则F′（x）=（x 2 +1）f′（x）+2xf（x）， ∵当x＞0时，（x 2 +1）f′（x）+2xf（x）＜0， ∴当x＞0时，F′（x）＜0， ∴F（x）=（x 2 +1）f（x）在（0，+∞）上单调递减， ∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（-1）=0， ∴f（1）=0， ∴当0＜x＜1时，F（x）=（x 2 +1）f（x）＞0， ∴f（x）＞0；① 又F（-x）=）=（x 2 +1）f（-x）=-（x 2 +1）f（x）=-F（x）， ∴F（x）=（x 2 +1）f（x）为奇函数，又x＞0时，F（x）=（x 2 +1）f（x）在（0，+∞）上单调递减， ∴x＜0时，F（x）=（x 2 +1）f（x）在（-∞，0）上单调递减， ∵f（-1）=0， ∴当x＜-1时，F（x）=（x 2 +1）f（x）＞0，从而f（x）＞0；② 由①②得：0＜x＜1或x＜-1时f（x）＞0． ∴不等式f（x）＞0的解集是（0，1）∪（-∞，-1）． 故选D．