Question

（2012?咸宁）如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上的一点，CD是过E点的弦，过点B的切线交AC的延长线于点F，BF

（2012?咸宁）如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上的一点，CD是过E点的弦，过点B的切线交AC的延长线于点F，BF∥CD，连接BC．（1）已知AB=18，BC=6，求弦CD的长；（2）连接BD，如果四边形BDCF为平行四边形，则点E位于AB的什么位置？试说明理由．

Answer 1

（1）解：∵BF与⊙O相切，
∴BF⊥AB．（1分）
而BF∥CD，
∴CD⊥AB．
又∵AB是直径，
∴CE=ED．（2分）
连接CO，设OE=x，则BE=9-x．
由勾股定理可知：CO²-OE²=BC²-BE²=CE²，
即9²-x²=6²-（9-x）²，
解得：x=7．（4分）
∴CD=2

CO2?OE2

=2

92?72

=8

2

．（5分）

（2）∵四边形BDCF为平行四边形，
∴BF=CD．
而CE=DE=

1

2

CD，
∴CE=

1

2

BF．（7分）
∵BF∥CD，
∴△AEC∽△ABF．（8分）
∴

AE

AB

＝

EC

BF

＝

1

2

．
∴点E是AB的中点．（9分）