Question

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．它的外接圆半径为6．∠B，∠C和△ABC的面积S满足条件：S=

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．它的外接圆半径为6．∠B，∠C和△ABC的面积S满足条件：S=a2-（b-c）2且sinB+sinC=43．（1）求sinA； （2）求△ABC面积S的最大值．

Answer 1

（1）S=a²-b²-c²+2bc
=2bc-2bccosA
=2bc（1-cosA）．
又S＝

1

2

bcsinA
∴2bc(1?cosA)＝

1

2

bcsinA?sinA=4（1-cosA）
联立得：

sin2A+cos2A＝1 sinA＝4(1?cosA)

得：16（1-cosA）²+cos²A=1?（17cos²A-15）（cosA-1）=0
∵0＜A＜π，
∴cosA-1≠1
∴cosA＝

15

17

从而得：sinA＝

8

17

（2）S＝

1

2

bcsinA＝

4

17

bc
∵sinB+sinC＝

4

3

，
∴

b

2R

+

c

2R

＝

4

3

∵R=6，
∴b+c=16
∴S＝

4

17

bc＝

4

17

b(16?b)＝?

4

17

(b2?16b)＝?

4

17

(b?8)2+

256

17

∴当b=c=8时，S最大＝

256

17

．