Question

在数列{an}中，a1=2，a2=4，且当n≥2时，a 2n＝an?1an+1，n∈N*．（I）求数列{an}的通项公式an（II）若bn

在数列{an}中，a1=2，a2=4，且当n≥2时，a 2n＝an?1an+1，n∈N*．（I）求数列{an}的通项公式an（II）若bn=（2n-1）an，求数列{bn}的前n项和Sn（III）是否存在正整数对（m，n），使等式 2n?man+4m＝0成立？若存在，求出所有符合条件的（m，n）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）由已知可得，数列{a_n}是等比数列
∵a₁=2，a₂=4
∴q＝

a2

a1

=2
∴an＝a1qn?1=2ⁿ
（II）∵b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）?2ⁿ
∴Sn＝1?2+3?22+5?23+…+(2n?1)?2n
 2S_n=1?2²+3?2³+…+（2n-3）?2ⁿ+（2n-1）?2ⁿ⁺¹
两式相减可得，?Sn＝2+2(22+23+…+2n)?(2n?1)?2n+1
=2?

8(1?2n)

1?2

?(2n?1)?2n+1
=-6+2^n-2-n?2ⁿ⁺²+2ⁿ⁺¹
∴Sn＝(2n?3)?2n+1+6
（III）假设存在正整数对（m，n），使得等式an2?man+4m＝0
∵an＝2n
∴2²ⁿ=m（2ⁿ-4）成立
∵m∈N^*∴2ⁿ＞4
∴m＝

22n

2n?4

=

22n?16+16

2n?4

=2n?4+

16

2n?4

+8≥16
当且仅当2ⁿ-4=4即n=3时取等号
∵2ⁿ＞4
∴

16

2n?4

∈N*
∴2ⁿ-4=1或2或8或16，此时均无解
故符合题意的正整数对只有（16，3）