已知数列{an}的前n项和Sn=n(1+an)2(n=1,2,3,…)(1)求a1的值;(2)求证:(n-2)an+1=(n-1)an-1
已知数列{an}的前n项和Sn=n(1+an)2(n=1,2,3,…)(1)求a1的值;(2)求证:(n-2)an+1=(n-1)an-1(n≥2);(3)判断数列{an...
已知数列{an}的前n项和Sn=n(1+an)2(n=1,2,3,…)(1)求a1的值;(2)求证:(n-2)an+1=(n-1)an-1(n≥2);(3)判断数列{an}是否为等差数列,并说明理由.
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解答:(1)解:由Sn=
,得a1=S1=
,解得a1=1;
(2)证明:∵Sn=
,
∴Sn?1=
(n≥2).
两式作差得:an=
,
即(n-2)an+1=(n-1)an-1(n≥2);
(3)数列{an}是等差数列.
事实上,
由Sn=
,
∴Sn?1=
(n≥2).
Sn?2=
(n≥3).
由(2)可得,an?1=Sn?1?Sn?2=
(n≥3).
∴an?an?1=
.
即(n-2)an-2(n-2)an-1+(n-2)an-2=0.
∵n≥3,
∴an-2an-1+an-2=0,即an-an-1=an-1-an-2(n≥3).
∴数列{an}是以1为首项,a2-1为公差的等差数列.
n(1+an) |
2 |
1+a1 |
2 |
(2)证明:∵Sn=
n(1+an) |
2 |
∴Sn?1=
(n?1)(1+an?1) |
2 |
两式作差得:an=
nan+1?(n?1)an?1 |
2 |
即(n-2)an+1=(n-1)an-1(n≥2);
(3)数列{an}是等差数列.
事实上,
由Sn=
n(1+an) |
2 |
∴Sn?1=
(n?1)(1+an?1) |
2 |
Sn?2=
(n?2)(1+an?2) |
2 |
由(2)可得,an?1=Sn?1?Sn?2=
(n?1)an?1+1?(n?2)an?2 |
2 |
∴an?an?1=
nan?2(n?1)an?1+(n?2)an?2 |
2 |
即(n-2)an-2(n-2)an-1+(n-2)an-2=0.
∵n≥3,
∴an-2an-1+an-2=0,即an-an-1=an-1-an-2(n≥3).
∴数列{an}是以1为首项,a2-1为公差的等差数列.
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