已知数列{an}的前n项和Sn=n(1+an)2(n=1,2,3,…)(1)求a1的值;(2)求证:(n-2)an+1=(n-1)an-1

已知数列{an}的前n项和Sn=n(1+an)2(n=1,2,3,…)(1)求a1的值;(2)求证:(n-2)an+1=(n-1)an-1(n≥2);(3)判断数列{an... 已知数列{an}的前n项和Sn=n(1+an)2(n=1,2,3,…)(1)求a1的值;(2)求证:(n-2)an+1=(n-1)an-1(n≥2);(3)判断数列{an}是否为等差数列,并说明理由. 展开
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战的逆袭231
2014-11-20 · 超过61用户采纳过TA的回答
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解答:(1)解:由Sn=
n(1+an)
2
,得a1S1
1+a1
2
,解得a1=1;
(2)证明:∵Sn=
n(1+an)
2

Sn?1
(n?1)(1+an?1)
2
(n≥2)

两式作差得:an
nan+1?(n?1)an?1
2

即(n-2)an+1=(n-1)an-1(n≥2);
(3)数列{an}是等差数列.
事实上,
由Sn=
n(1+an)
2

Sn?1
(n?1)(1+an?1)
2
(n≥2)

Sn?2
(n?2)(1+an?2)
2
(n≥3)

由(2)可得,an?1Sn?1?Sn?2
(n?1)an?1+1?(n?2)an?2
2
(n≥3).
an?an?1
nan?2(n?1)an?1+(n?2)an?2
2

即(n-2)an-2(n-2)an-1+(n-2)an-2=0.
∵n≥3,
∴an-2an-1+an-2=0,即an-an-1=an-1-an-2(n≥3).
∴数列{an}是以1为首项,a2-1为公差的等差数列.
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