Question

已知数列an和bn满足a1=2,a2=4,bn＝an+1-an,bn+1=2bn+2 求数列an的通项公式

Answer 1

b(n+1)=2bn+2
[b(n+1)+2] = 2[bn+2]

所以{bn+2}是公比为2的等比数列。
b1+2=a2-a1+2=4
bn+2=4*2(n-1)=2^(n+1)
bn=2^(n+1)-2

b(n-1)=an-a(n-1)
b(n-2)=a(n-1)-a(n-2)
.....
b1 = a2-a1

累加得
b(n-1)+b(n-2)+...+b1=an-a1
所以
an
=b(n-1)+...+b1+a1
=(2^2+2^3+...+2^n)-2(n-1)+2
=2^(n+1)-4-2n+2+2
=2^(n+1)-2n

Answer 2

b(n+1)=2b(n)+2 b(n+1)+2=2[b(n)+2] {b(n)+2}是首项为b(1)+2=4,公比为2的等比数列. b(n)+2=2^(n+1) a(n+1)=a(n)+2^(n+1) - 2 a(n+1)-2^(n+1+1)+2(n+1)=a(n)-2^(n+1)+2n=...=a(1)-2^2+2=0 a(n)=2^(n+1)-2n