Question

先阅读下面例题的解法，然后解答后面的问题．例：若多项式2x3-x2+m分解因式的结果中有因式2x+1，求实数m

先阅读下面例题的解法，然后解答后面的问题．例：若多项式2x3-x2+m分解因式的结果中有因式2x+1，求实数m的值．解：设2x3-x2+m=（2x+1）?A （A为整数） 若2x3-x2+m=（2x+1）?A=0，则2x+1=0或A=0 由2x+1=0得x=-12 则x=-12是方程2x3-x2+m=0的解 所以2×（-12）3-（-12）2+m=0，即-14-14+m=0，所以m=12问题：（1）若多项式x2+px-6分解因式的结果中有因式x-3，则实数P=______；（2）若多项式x3+5x2+7x+q分解因式的结果中有因式x+1，求实数q的值；（3）若多项式x4+mx3+nx-16分解因式的结果中有因式（x-1）和（x-2），求实数m、n的值．

Answer 1

（1）设x²+px-6=（x-3）?A    （A为整数），
若x²+px-6=（x-3）?A=0，则x-3=0或A=0，
由x-3=0得，x=3，
则x=3是方程x²+px-6=0的解，
∴3²+3p-6=0，
解得p=-1；

（2）设x³+5x²+7x+q=（x+1）?B   （B为整式），
若x³+5x²+7x+q=（x+1）?B=0，则x+1=0或B=0，
由x+1=0得，x=-1，
则x=-1是方程x³+5x²+7x+q=0的解，
∴（-1）³+5×（-1）²+7×（-1）+q=0，
即-1+5-7+q=0，
解得q=3；

（3）设x⁴+mx³+nx-16=（x-1）（x-2）?C  （C为整式），
若x⁴+mx³+nx-16=（x-1）（x-2）?C=0，则x-1=0，x-2=0，C=0，
由x-1=0，x-2=0得，x=1，x=2，
即x=1，x=2是方程x⁴+mx³+nx-16=0的解，
∴1⁴+m?1³+n?1-16=0，
2⁴+m?2³+n?2-16=0，
即m+n=15①，
4m+n=0②，
①②联立解得m=-5，n=20，
故答案为：（1）p=-1，（2）q=3，（3）m=-5，n=20．