Question

如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠BPC=60°，AB与PC交于Q点。 （1）判断△ABC的形状

如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠BPC=60°，AB与PC交于Q点。 （1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）求证： ；（3）若∠ABP=15°，△ABC的面积为4，求PC的长．

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Answer 1

解：（1）∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60°， ∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）如图，过B作BD∥PA交PC于D，则∠BDP=∠APC=60°， 又∵∠AQP=∠BQD， ∴△AQP∽△BQD， ， ∵∠BPD=∠BDP=60°， ∴PB=BD， ∴ ； （3）设正△ABC的高为h，则h=BC·sin60°， ∵ BC·h=4 ，即 BC·BC·sin60°=4 ，解得BC=4， 连接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E， 由△ABC是正三角形知∠BOC=120°，从而得∠OCE=30°， ∴ ， 由∠ABP=15°得∠PBC=∠ABC+∠ABP=75°，于是∠POC=2∠PBC=150°， ∴∠PCO=（180°-150°）÷2=15°， 如图，作等腰直角△RMN，在直角边RM上取点G， 使∠GNM=15°，则∠RNG=30°，作GH⊥RN，垂足为H， 设GH=1，则cos∠GNM=cos15°=MN， ∵在Rt△GHN中，NH=GN·cos30°，GH=GN·sin30°， 于是RH=GH，MN=RN·sin45°， ∴cos15°= ， 在图中，作OF⊥PC于E， ∴PC=2FD=2OC·cos15°= 。