Question

在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．（1）求证：CM

在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．（1）求证：CM⊥EM；（2）求直线DE与平面CEM所成角的正切值．

Answer 1

（1）证明：因为AC=BC，M是AB的中点， 所以CM⊥AB．   …（2分） 又EA⊥平面ABC， 所以CM⊥EA     …（4分） 因为AB∩EA=A 所以CM⊥平面EAB． 所以CM⊥EM．   …（7分） （2）连结MD， 设EA=a，BD=BC=AC=2a， 在直角梯形ABDE中，AB=2 2 a，M是AB的中点， 所以DE=3a，EM= 3 a ，DM= 6 a ，得△DEM是直角三角形，其中DM⊥EM，…（10分） 又因为DM⊥CM，EM∩CM=M， 所以DM⊥平面CEM 所以∠DEM是直线DE和平面CEM所成的角．…（12分） 在Rt△DEM中，tan∠DEM= DM EM = 6 a 3 a = 2 ， 故直线DE与平面CEM所成角的正切值为 2 ．…（14分）