Question

如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是弧AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB

如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是弧AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE （1）求证：四边形OGCH是平行四边形；（2）当点C在弧AB上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证： 是定值.



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Answer 1

（1）连结OC，交DE于M， ∵四边形ODCE是矩形 ∴OM＝CM，EM＝DM 又∵DG=HE ∴EM－EH＝DM－DG，即HM＝GM ∴四边形OGCH是平行四边形 （2）DG不变； 在矩形ODCE中，DE＝OC＝3，所以DG＝1 （3）作HF⊥CD于点F，则△DHF∽△DEC ∴ ∴ ∴ ∵HF 2 =CH 2 －CF 2 =DH 2 －DF 2 ，DH=2 ∴CH 2 － =2－ 整理，得 ∴ ="12"

（1）连接OC，容易根据已知条件证明四边形ODCE是矩形，然后利用其对角线互相平分和DG=GH=HE可以知道四边形CHOG的对角线互相平分，从而判定其是平行四边形； （2）由于四边形ODCE是矩形，而矩形的对角线相等，所以DE=OC，而CO是圆的半径，这样DE的长度不变，也就DG的长度不变； （3）过C作CN⊥DE于N，设CD=x，然后利用三角形的面积公式和勾股定理用x表示CN，DN，HN，再利用勾股定理就可以求出CD 2 +3CH 2 的值了．