Question

求微分方程xdydx=x-y满足条件y|x＝2=0的特解

求微分方程xdydx=x-y满足条件y|x＝2=0的特解．

Answer 1

对于微分方程 x

dy

dx

=-y，
分离变量可得

dy

y

＝?

dx

x

，
两边积分，可得
ln|y|=-ln|x|+C，
即有 y＝

C

x

．
利用常数变易法，设原微分方程的通解为 y＝

C(x)

x

，
则

dy

dx

＝

xC′(x)?C(x)

x2

．
代入微分方程中可得，
C′（x）=x，
故 C(x) ＝ 

1

2

x2+C，
从而，原微分方程的通解为 y＝

C(x)

x

=

1

2

x+

C

x

．
由初值条件 y|x＝

2

=0 可得 C=-1．
故所求特解为 y＝

1

2

x?

1

x

．