Question

求由方程x2+2y2+z2-4yz+2z+3=0所确定的隐函数z=z（x，y）的极值

求由方程x2+2y2+z2-4yz+2z+3=0所确定的隐函数z=z（x，y）的极值．

Answer 1

方程x2+2y2+z2-4yz+2z+3=0两端对x求偏导，得
2x+2z•zx-4y•zx+2zx=0，即zx＝
x
2y−z−1

两端对y求偏导，得
4y+2z•zy-4z-4y•zy+2•zy=0，即zy＝
2y−2z
2y−z−1

令zx=zy=0，解得：x=0，y=z
又将x=0，y=z代入已知方程，解得
y=z=-1，或者y=z=3
即隐函数z=z（x，y）两个驻点：（0，-1）、（0，3）
又A=zxx＝
(2y−z−1)−x(−zx)
(2y−z−1)2
，B=zxy＝−
x(2−zy)
(2y−z−1)2
，C=zyy＝2
(2y−z−1)−(y−z)(2−zy)
(2y−z−1)2

将（0，-1，-1）代入求得：A=−
1
2
，B=0，C=-1，因此AC−B2＝
1
2
＞0，且A＜0
从而隐函数z=z（x，y）在：（0，-1）取得极大值
将（0，3，3）代入求得：A=
1
2
，B=0，C=1，因此AC−B2＝
1
2
＞0，且A＞0
从而隐函数z=z（x，y）在：（0，3）取得极小值

Answer 2

方程x²+2y²+z²-4yz+2z+3=0两端对x求偏导，得
2x+2z?z_x-4y?z_x+2z_x=0，即zx＝

x

2y?z?1

两端对y求偏导，得
4y+2z?z_y-4z-4y?z_y+2?z_y=0，即zy＝

2y?2z

2y?z?1

令z_x=z_y=0，解得：x=0，y=z
又将x=0，y=z代入已知方程，解得
y=z=-1，或者y=z=3
即隐函数z=z（x，y）两个驻点：（0，-1）、（0，3）
又A=zxx＝

(2y?z?1)?x(?zx)

(2y?z?1)2

，B=zxy＝?

x(2?zy)

(2y?z?1)2

，C=zyy＝2

(2y?z?1)?(y?z)(2?zy)

(2y?z?1)2

将（0，-1，-1）代入求得：A=?

1

2

，B=0，C=-1，因此AC?B2＝

1

2

＞0，且A＜0
从而隐函数z=z（x，y）在：（0，-1）取得极大值
将（0，3，3）代入求得：A=

1

2

，B=0，C=1，因此AC?B2＝

1

2

＞0，且A＞0
从而隐函数z=z（x，y）在：（0，3）取得极小值